Ulica Safvet-bega Bašagića vodi od Baščaršijskog trga, pa sve do pod Grlića brdo.

U osmansko doba postojao je samo dio ove ulice. Zvao se Potok, po potoku Ramića banja, koji je 30-tih godina prošlog vijeka natkriven, da bi na toj trasi bio izgrađen upravo jedan od krakova današnje ulice.

Pred popis stanovništva 1931. godine ulica je nazvana Miloša Obilića, po junaku iz srpskih epskih pjesama, koji je prema legendi ubio turskog sultana Murata tokom Kosovskog boja, 1389. godine.

Tokom nacističke okupacije, od 1941. do 1945. ulica je nosila ime Dr. Safvet-bega Bašagića, a po završetku Drugog svjetskog rata vraćeno joj je ime Miloša Obilića.

Današnje ime ponovo je dobila 1995. godine.

Safvet-beg Bašagić rođen je 6. maja 1870. u Nevesinju. Studirao je arapski i perzijski jezik na Bečkom univerzitetu, gdje je i doktorirao.

Pod pseudonimom Mirza Safvet napisao je nekoliko desetina djela, od kojih su neka kapitalna, pa se smatra začetnikom bosanskog književnog preporoda. Bio je osnivač nekoliko udruženja, pokretač časopisa, predsjednik Bosanskog sabora, a radio je i kao kustos Zemaljskog muzeja BiH.

Umro je 9. aprila 1934. godine i kao jedan od bošnjačkih velikana sahranjen je u haremu Begove džamije.